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Filosofia

“Kurt Gödel”, de W. V. O. Quine

Traduzido por Gabriel Marculino Ferreira.

[Retirado de W. V. Quine, 1982, ‘Theories and things’, Cambridge, MA: Harvard University Press, Artigo Reimpresso do Anuário de 1978 da American Philosophical Society: 143 – 147];

Kurt Gödel nasceu no dia 28 de abril de 1906, em Brünn, ou Brno, em Morávia. Era filho de Rudolf Gödel e Marianne, née Handschuh. Ele entrou na Universidade de Viena em 1924. Em 6 de fevereiro de 1930 ele recebeu seu doutorado em matemática.

Sua dissertação de doutorado foi uma prova da completude (completeness) do cálculo de predicados de primeira ordem. Esse cálculo é o departamento básico da lógica formal moderna; existem alguns que até mesmo o igualam a lógica, em um sentido defensavelmente limitado da palavra. Suas fórmulas representam formas de sentenças, com variáveis no lugar de predicados. Suas fórmulas válidas são aquelas que se transformam em sentenças verdadeiras, não importando quais predicados sejam colocados para a variável. O que Gödel provou foi que cada uma das fórmulas válidas admite prova formal por qualquer um dos vários procedimentos de prova correntes.

Tal completude era esperada. Um logicista que esperava o contrário teria se esforçado para fortalecer os procedimentos de prova conhecidos na esperança de alcançar a completude. Mas uma prova atual da completude era menos esperada, e uma notável realização. Ele veio como uma nova garantia (reassurance) bem-vinda. Thoralf Skolem, em Oslo, já tinha publicado resultados em 1929 e anteriormente que, tomados em conjunto, podem ser retrospectivamente interpretados como antecipando essa teoria da completude. No entanto, esses papers foram bastante vagos no assunto, e o trabalho de Gödel foi independente dele.

Gödel acabou esse trabalho quando 1930 alvoreceu. Antes que esse ano acabasse, seu próximo teorema foi publicado e sua prova foi recebida para publicação; e foi esse teorema que selou sua imortalidade. Em contraste a sua teoria da completude, esse era um teorema da incompletude (incompletability): a incompletude da teoria elementar dos números. A completude do cálculo de predicados era, como disse, esperada; apenas queriam a prova. Por outro lado, a incompletude da teoria elementar dos números vem como um conjunto de fortes pré-concepções e uma crise na filosofia da matemática.

Teoria elementar dos números é a parte moderna da matemática que se preocupa com a adição e multiplicação de números inteiros. Quaisquer que sejam as regras de prova sólidas e utilizáveis que se possa conceber, algumas verdades da teoria elementar dos números permanecerá indemonstrável; esse é o ponto essencial da teoria de Gödel. Dado qualquer procedimento de prova, ele mostrou como construir uma sentença puramente na deficiente notação da teoria elementar dos números que podem ser provadas se e somente se forem falsas. Mas espere: a sentença não pode ser provada e ainda assim ser falsa, se as regras de prova são sólidas. Então é verdadeiro mas indemonstrável.

Costumávamos pensar que a verdade matemática consistia em demonstrabilidade. Agora vemos que essa visão é insustentável para a matemática como um todo, e até mesmo para a matemática em qualquer parte considerável; pois a teoria elementar dos números é, na verdade, uma parte modesta, e já excede qualquer procedimento de prova aceitável.

Os especialistas notaram que, neste esboço, recorro à imprecisão agora e novamente para arredondar alguns técnicos becos sem saída.

No mesmo artigo que marcou época, Gödel apresentou também um outro teorema, como corolário do principal. O ponto principal disso é que a teoria matemática normalmente não pode ser provada como sendo livre da contradição interna, exceto recorrendo a outra teoria que se baseia em suposições mais fortes, e, portanto, é menos confiável do que a teoria cuja consistência está sendo provada. Como o teorema da incompletude, esse corolário tem um toque melancólico. Ainda assim, descobriu-se que é de utilidade positiva quando estamos preocupados em provar que uma teoria é mais forte do que outra: podemos fazê-lo provando em uma teoria que a outra é consistente.

As técnicas que entraram na prova de incompletude de Gödel também tiveram utilidade em outros lugares. Elas foram instrumentos no rápido desenvolvimento de um novo ramo vigoroso da matemática, conhecido em parte como teoria da hierarquia e em parte como teoria dos números recursiva, ou teoria da recursão. O último desempenhou uma importante função na teoria dos computadores.

Nos anos de 1932-1935 Gödel comunicou mais resultados técnicos sobre a demonstração lógica no curso de dez curtos papers. Ele continuou em Viena como Privatdozent até 1938, mas visitou a América em 1934 para palestrar no Institute of Advanced Study. Em 1938 ele se casou com Adele Porkert, de Viena, e se mudou com ela para Princeton como um membro permanente do Institute for Advanced Study. Não teve filhos. Gödel se tornou um cidadão Americano em 1948 e foi promovido em 1953 a uma cátedra no Instituto, onde permaneceu até sua morte no dia 14 de janeiro, em 1978.

A terceira grande descoberta de Gödel foi anunciada em um abstrato em 1938 e exposto na íntegra em 1940: a consistência da hipótese do continuum (continuum hypothesis) e o axioma da escolha.

O axioma da escolha caminha como se segue. Suponha um monte de conjuntos, todos mutuamente exclusivos e nenhum deles vazios; então haverá também um conjunto contendo exatamente um de cada. Esse axioma soa verdadeiro, e pode ser provado contanto que os conjuntos em questão são finitos em número. Mas para casos infinitos nenhuma casa é conhecida; nenhuma de origens mais óbvias. Ainda assim, existem muitos teoremas interessantes sobre conjuntos e números infinitos que dependem para sua prova do axioma da escolha. Consequentemente, o novo teorema de Gödel foi bem-vindo; pois ele provou que o axioma da escolha pode ser adicionado ao axioma usual da teoria dos conjuntos sem cair em contradição.

A hipótese do continuum diz, com efeito, de qualquer parte infinita de objetos, que também podem ser esgotados atribuindo cada um a um número inteiro distinto ou então os números reais podem ser esgotados atribuindo cada número real a um distinto desses objetos. Isso, diferente do axioma da escolha, pode escassamente ser dito soando verdadeiro; não toca nenhum sino. Há também uma hipótese do continuum generalizada, ainda mais longe. Basta dizer que essas hipóteses resistem, ambas, a prova e refutação dos mais óbvios caminhos, e que eles cortam uma figura notável na teoria dos números infinitos. O novo teorema estabelecido de Gödel de que a hipótese do continuum, simples ou generalizada, pode ser adicionada aos axiomas usuais sem cair em contradição.

Sua maneira de provar tudo isso, tanto no que diz respeito ao axioma da escolha e a hipótese do continuum, foi tão valioso quanto o que ele provou. Sua prova revelou uma estrutura esquelética, econômica como pode ser, que atende a todas as demandas da usual teoria dos conjuntos. Essa estrutura, e a garantia de sua adequação, tem figurado proveitosamente em pesquisas subsequentes, também separada das questões de consistência do axioma da escolha e da hipótese do continuum.

O que Gödel provou sobre o axioma da escolha e da hipótese do continuum foi, nós vimos, que elas podem ser adicionadas aos axiomas usuais da teoria dos conjuntos sem cair em contradição. Agora Paul J. Cohen desde então provou ainda que eles podem ser negados sem cair em contradição. Assim, eles ficam suspensos no ar, indeterminados por aceitar princípios matemáticos. Temos aqui um notável pós-escrito para o já devastador teorema da incompletude de Gödel. Esse teorema nos conta que dado qualquer procedimento de prova, se for bom, deixará algumas questões matemáticas (na verdade infinitas) indecidíveis. E agora, no axioma da escolha e na hipótese do continuum, temos dois exemplos dramáticos: duas questões matemáticas muito estudadas que são, em princípio, indecidíveis sob as bases dos princípios matemáticos reconhecidos.

Esses resultados lançam dúvidas sobre a objetividade da verdade matemática? Ou elas revelam limites ignorados ao poder da mente? Gödel estava relutante em aceitar qualquer conclusão. Seus breves escritos subsequentes refletem uma preocupação com essa questão. Acreditava na realidade de objetos abstratos da matemática e na capacidade da mente humana de apreendê-los intuitivamente. Pensava na possibilidade da mente transcender os procedimentos de prova formal e, desse modo, não ser limitado por seu teorema da incompletude. Pensou que intuições futuras mais refinadas sobre conjuntos ainda podem resolver a questão do axioma da escolha e da hipótese do continuum.

Ele não propôs nenhuma filosofia sistemática, mas o vemos inclinado ao idealismo ou até mesmo a um racionalismo antiquado. Admirava particularmente o racionalismo de Leibniz, que havia antecipado algo da lógica matemática. E em uma breve contribuição ao volume Einstein na Library of Living Philosophers, encontramos Gödel argumentando que a teoria geral da relatividade dá apoio a uma posição idealista.

Gödel era um homem franzino e frágil. Ele se queixava de problemas estomacais crônicos e era sensível ao frio. Ele podia ser visto em um dia quente caminhando penosamente por uma rua de Princeton com um sobretudo. Ele disse que uma vez ele e sua esposa experimentaram a costa de Nova Jersey para as férias de verão, mas acharam muito frio para o conforto.

Ele tinha um forte senso de dever. Ele se debruçava interminavelmente sobre os escritos dos candidatos ao Institute for Advanced Study, mesmo que eles fossem apenas candidatos a um ano de associado e os escritos fossem distantes de seu campo. Ele era gentil, mas não extrovertido; seu interlocutor teve que manter a iniciativa. Tais foram as suas realizações, porém, que o interlocutor com a necessária iniciativa não faltou de forma alguma.

Em 1951 Gödel e John von Neumann compartilharam o Einstein Award e Gödel recebeu um grau honorário em Yale. Harvard seguiu o exemplo no ano seguinte, e Amherst e Rockefeller nos próximos anos. Gödel tornou-se um membro da American Philosophical Society em 1961. Foi um membro também da National Academy of Sciences e da American Academy of Arts and Sciences, e um membro estrangeiro da Royal Society, a British Academy, e o Institut de France.

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