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Filosofia

Lógica: uma introdução – parte 1

Um panorama histórico da lógica e seu desenvolvimento.

Introdução

A lógica é uma ciência bastante antiga e que tomou diversas formas ao longo da história. Vários grupos de pensadores a estudaram e desenvolveram ao longo de pouco mais de um milênio. Esta, assim chamada, arte liberal sempre foi alvo de muitas discussões e debates, tanto que até hoje se discute qual é a natureza da lógica.

Nesta série de artigos, pretende-se falar um pouco sobre a história, desenvolvimento e características gerais da lógica, focando na sua concepção e abordagem moderna — baseada dentro da tradição Analítica. A primeira parte será destinada a um pequeno panorama da história da lógica, dando-se uma pincelada em alguns autores e grupos que se propuseram a explorá-la.

1. Aristóteles

Aristóteles, filósofo de Estagira, aluno de Platão

É impossível falar de lógica e não falar de Aristóteles. O filósofo de Estagira é considerado ainda como o primeiro lógico da história, e muitas das noções criadas por ele na época são utilizadas até hoje em lógica moderna. O seu magnum opus no assunto é a coleção de seus escritos lógicos: o Organon.A obra é composta por seis livros, a saber: Categorias, Da Interpretação, Analíticos Anteriores, Analíticos Posteriores, Tópicos e Refutações Sofísticas. O nome “Organon” veio apenas posteriormente, com os peripatéticos do período helenístico. Eles consideravam, em oposição aos estóicos, como veremos, que a lógica fosse uma ferramenta ou um instrumento da filosofia — embora seja incerto se este era realmente o pensamento do próprio Aristóteles.

A obra continuou sendo um vasto manual, dando base para o Isagoge de Porfírio, e posteriormente às contribuições feitas no período escolástico. Até então a lógica misturava-se, de certo modo, com a metafísica. As questões abordadas por Aristóteles nas Categorias e por Porfírio em seu Isagoge eram metafísicas, mas vistas como lógica na época.

Porfírio, escritor de Isagoge

É importante atentar ao fato de que o termo “lógica” já teve várias concepções ao longo do tempo. Como no caso de Aristóteles e Porfírio, uma parte da metafísica era unida à lógica. Mas é claro que não apenas eles buscaram definir e aprofundar essa ciência; muitos outros vieram logo após.

2. Estóicos

Crísipo de Solis, filósofo e lógico grego

Os maiores adversários dos peripatéticos, os estóicos, também foram grandes contribuintes para a lógica. Diógenes Laercio, historiador e biógrafo dos filósofos gregos, nos conta o quão famosa era a lógica estóica na época e é por conta de seus trabalhos que temos acesso a boa parte daquilo que escreveram a respeito disso. O principal lógico estóico foi Crisipo. Infelizmente nenhuma de suas obras chegou até nós intactas, apenas fragmentos e comentários de autores externos, como Sextus Empírico e o já citado Diógenes¹. Lógicos contemporâneos como Benson Mates têm reunidos esforços para resgatar cada vez mais desta lógica perdida.

A lógica estóica possui um escopo bem mais amplo que a lógica moderna. Ela abrange a teoria do conhecimento, a própria lógica como entendida hoje, a teoria da linguagem e interpretação. É dividida sumariamente em retórica e dialética: a retórica trata dos modos de fala, enquanto a dialética tratará da linguagem em geral e das demais disciplinas citadas acima. A dialética é a parte da lógica estóica que mais nos interessa aqui.

Fazem parte dela a noção de significado. Dentro dos destes há uma divisão: as representações e os dizíveis, subjacentes às representações. Os dizíveis, por sua vez, também são divididos: completos e incompletos, cada um possuindo também suas subdivisões: os completos são os asseríveis, semi-asseríveis (declarativos), imperativos, imprecatórios, preces, etc. Os incompletos, por sua vez, são sujeitos, predicados, gênero, espécie. Esta parte da lógica estóica é a chamada teoria dos axiōmata.

Além disso, teríamos também a teoria dos argumentos estóica, em que se tem a noção de “argumentos indemonstráveis”, silogismos que já teriam sua validade aceita sem prova, por serem, por assim dizer, “evidentes”. Crisipo apresentou cinco indemonstráveis, mas alguns estóicos teriam chegado até sete; contudo, não sabemos quais seriam estes dois últimos.

Os indemonstráveis são:

  1. Se A, então B; é o caso que A, logo é o caso que B. Forma que afirma por afirmação, ou modus ponendo ponens;
  2. Se A, então B; não é o caso que B, logo não é o caso que A. Forma que nega por negação, ou modus tollendo tollens;
  3. Não é o caso que tanto A quanto B são o caso; A é o caso, logo, B não é o caso. Forma que afirma por negação, ou modus ponendo tollens;
  4. Ou A ou B; A, logo não B. Outra forma que afirma por negação, ou modus ponendo tollens;
  5. Ou A ou B; não A, logo B. Repetição da forma acima.

Muito mais se poderia dizer da lógica estóica, mas isso renderia um artigo único sobre o assunto. O que já foi explanado aqui nos basta para termos um vislumbre de como a lógica era tratada por eles. O que é importante ressaltar é que os estóicos ficaram tão famosos por suas contribuições que um ditado da época era que: “Se os deuses usassem a lógica, eles usariam a de Crísipo”. E de fato, a lógica estóica foi bastante importante para a formação da lógica moderna.

3. Os escolásticos

Pedro Hispano ou Papa João XXI

O período escolástico é dividido em etapas. Elas estão relacionadas com o conhecimento que foi adquirido através das novas obras de Aristóteles que foram sendo descobertas e traduzidas. É comum separar a lógica escolástica em três períodos: a logica vetus, logica nova e logica modernorum. A logica vetus e a logica nova, em particular, formam aquilo que se chama de logica antiquorum.

A logica vetus possui em seu material de estudo apenas as Categorias, Da Interpretação e o Isagoge de Porfírio. Também se tem o Topica, de Cícero e os comentários ao Isagoge de Boécio. Contudo, isso mudou por volta do século XII, em que foram acrescentadas as traduções dos demais livros do Organon aristotélico: Analíticos Anteriores e Posteriores, Tópicos e Refutações Sofísticas. Jan Pinborg, historiador medieval, escreve:

“Na perspectiva cronológica, então, temos que lidar com três conceitos: logica vetus, logica nova e logica moderna, que correspondem, em certa medida, a três ‘fases’ diferentes da lógica medieval. A logica vetus é a interpretação da antiguidade tardia da lógica aristotélica, transmitida por comentários neoplatônicos e enriquecida com investigações pós-aristotélicas, especialmente estóicas. A logica nova é a teoria aristotélica ‘pura’ dos silogismos e a doutrina geral do método. A logica moderna, por sua vez, é uma criação original da Idade Média.”²

E a partir do século XIII surgem a lógica sumulista, tendo esse nome por conta das Summulaes, ou tratados de lógica. Três dessas súmulas se destacam: as de Pedro Hispano, Guilherme de Sherwood e Lamberto de Auxerres.

Pedro Hispano, particularmente — que tempo depois viria a ser Papa João XXI —, possui um compêndio de 12 tratados tratando tanto da logica antiquorum quanto trazendo consigo as novas ideias de logica modernorum, como os conceitos de suposição, relativos, ampliação, apelação, restrição e distribuição que seriam propriedades dos termos. Não nos estenderemos muito aqui; vale apenas destacar que a lógica de Pedro Hispano ainda manteve muito do arcabouço aristotélico.

4. Analíticos

Gottlob Frege, pai da lógica moderna e da Filosofia Analítica

Chegamos ao ponto alto da história da lógica: a era moderna. Ela tem seu início em meados do século XIX. Um dos responsáveis pela ascensão da lógica nessa época foi George Boole, um matemático e filósofo britânico que desenvolveu uma lógica matemática conhecida como a álgebra booliana. Com isso ele deu um novo olhar para a álgebra; contudo, na época não foi reconhecido pelos matemáticos contemporâneos. Pouco, como Augustus De Morgan — outro matemático bastante importante para a história da lógica, cujas leis são utilizadas até hoje —, observaram que ali havia algo de importante e inovador.

George Boole e Augustus De Morgan, contribuidores da lógica matemática

Assim permaneceu durante um certo tempo. Até que em 1879 um outro matemático publica sua obra: Begriffsschrift, do alemão: “Conceitografia”. Este matemático era Friedrich Ludwig Gottlob Frege. O propósito de Frege com sua Conceitografia era criar um sistema linguístico que conseguisse expressar a matemática de forma mais clara. Para ele, a linguagem natural possuía muitas ambiguidades e deficiências que atrapalhavam o processo matemático.

Como o próprio escreve no prefácio de seu Begriffsschrift:

“Creio que o melhor meio de elucidar a relação que se dá entre minha Conceitografia e a linguagem corrente seria compará-la com a relação que ocorre entre o microscópio e o olho. Este último, pela extensão de sua aplicabilidade e pela versatilidade de sua adaptação às mais diversas circunstâncias, é muito superior ao microscópio. Contudo, como um instrumento óptico, o olho possui, por certo, muitos inconvenientes, que passam comumente despercebidos por força de seu estreito relacionamento com a nossa vida mental. De fato, se um objetivo científico exigir grande acuidade de resolução, o olho se mostra insuficiente. Por outro lado, o microscópio se afigura perfeitamente adequado para tais fins, embora seja por isso mesmo inadequado para outros.”³

Frege considerava que sua linguagem formal era uma aproximação daquilo que Leibniz chamava de calculus philosophicus, uma linguagem formal universal. Ele, entretanto, não chegava a ser tão ambicioso quanto o último, pois reconhecia que sua linguagem ainda tinha limitações. Por outro lado, não considerava que isso era empecilho para o que propunha realizar.

Assim como o programa de Boole, as considerações de Frege foram muito pouco reconhecidas em sua época. isso se deu tanto um desinteresse dos matemáticos nesse tipo de consideração formal da lógica, quanto pela imensa dificuldade de inteligibilidade que o sistema de Frege apresentava.

Sua notação mantinha um padrão bidimensional, onde se possuía a barra de juízo (representada por “|”), um traço de conteúdo (que seria “—”) e puxado para baixo, um traço condicional (também representado por “|”, mas abaixo do traço de conteúdo), como se vê a seguir:

Como pode-se notar, fórmulas grandes como esta são bastante difíceis de se compreender. Utiliza-se apenas as noções básicas de implicação e negação, junto do quantificador universal, representado pela variável quantificada dentro de uma concavidade no traço de conteúdo.

Quantificador universal na notação de Frege

Principalmente por conta desse motivo a obra de Frege ficou muito defasada (juntamente de seus outros escritos matemáticos). Até que veio a ter reconhecimento no início do século XX, mais precisamente em 1903, quando Bertrand Russell, filósofo, lógico e matemático inglês, descobriu as obras de Frege e trouxe-as à tona. Eles trocaram cartas e o lógico inglês notou que havia uma contradição no sistema matemático alemão: o famoso Paradoxo de Russell, do conjunto dos conjuntos que não pertencem a si mesmos.

Bertrand Russell, lógico e matemático inglês

Isso abalou o processo produtivo de Frege, mas não impediu Russell de enxergar outros bons insights na obra fregeana. Tanto que ele aplicou as noções da lógica matemática no seu mais grandioso trabalho: o Principia Mathematica, escrito em conjunto com Alfred Whitehead. Este livro marca o início do projeto logicista, que visava reduzir toda a matemática a aspectos puramente lógicos.

Sem entrar muito em detalhes, o trabalho de Russell e Whitehead foi imenso e eles tiveram enormes avanços na lógica matemática, a começar pela notação que foi bastante aperfeiçoada e simplificada. A notação do Principia já se aproximava muito da notação usada hoje em dia nos manuais modernos, com poucas diferenças. A mais notável é a utilização de pontos para separar as fórmulas ao invés dos parênteses e colchetes de hoje em dia. Por exemplo: a fórmula [1]p→q)→(¬q→¬p (regra de contraposição) é escrita da seguinte maneira em Russell: p⊃q.⊃.~q⊃~p.

O trabalho de Russell para reduzir toda a matemática à lógica infelizmente não deu muito certo, pois anos depois viria Kurt Gödel e seus teoremas da incompletude; mas uma explicação sobre eles terá de ser deixada para depois.

O importante é que depois do Principia os olhares para a lógica matemática se abriram, Russell ajudou a popularizar este estudo. Após ele vieram vários outros matemáticos que contribuíram para a lógica, havendo sempre uma estreita relação entre ambas as ciências.

Mas a lógica também é bastante usada na filosofia. A tradição que mais desenvolveu a lógica na modernidade foi a dos filósofos Analíticos.

Citemos alguns:

Ludwig Wittgenstein

Lógico, filósofo e matemático austríaco, é conhecido pelos seus ensaios sobre a natureza da linguagem. Também contribuiu para as teorias de verdade, significado e foi aluno de Bertrand Russell na matéria da matemática. Um dos filósofos Analíticos mais influentes. Possui duas fases de seu pensamento: a primeira expressa no Tratactus Logicus-Philosophicus e a segunda é expressa nas suas demais obras, em especial nas suas Investigações Filosóficas.

Positivistas lógicos
Rudolf Carnap, mais famoso defensor do positivismo lógico

Foram um grupo de filósofos que se reuniam no que ficou conhecido como Círculo de Viena. Também chamados de empiristas lógicos, renegavam toda a metafísica seguindo uma interpretação do Tractatus Logicus-Philosophicus de Wittgenstein. Seus integrantes mais eminentes eram Rudolf Carnap e Carl Gustav Hempel. O grupo sofreu diversas críticas de filósofos como Willard van Orman Quine⁴, e se dissolveu em 1936 quando o líder do Círculo foi morto por um fanático nazista.

Alfred Tarski

Lógico, matemático e filósofo polonês, fez importantes contribuições para as teorias de verdade dentro da filosofia da linguagem e da lógica, além de ter diversos tratados sobre matemática. A semântica que hoje se utiliza comumente na lógica de predicados foi idealizada por ele. Além disso deu rigor ao conceito de consequência lógica, trabalhou com a algebrização da lógica e com a axiomatização de sistemas dedutivos. É considerado um dos quatro maiores lógicos da história, junto de Aristóteles, Frege e Gödel.

Kurt Gödel

Matemático austríaco, é conhecido principalmente pela idealização dos teoremas da incompletude, que provavam que os mais notáveis sistemas matemáticos de sua época eram incompletos, i.e., possuíam certas verdades que não podiam ser provadas de seus axiomas — incluindo o sistema de Russell no Principia⁵. Gödel também fez contribuições para a filosofia, escreveu ensaios sobre idealismo e possui uma prova formal para a existência de Deus seguindo o modelo ontológico-modal. Ele também provou a completude da lógica de predicados de primeira ordem.

Willard van Orman Quine

Lógico norte-americano, fez contribuições para a lógica, matemática, filosofia da linguagem, epistemologia e ontologia. Fez duras críticas aos positivistas do Círculo de Viena. Dentro do campo da linguagem, possui uma solução para o problema ontológico do não-ser⁶, além da sua famosa tese da impossibilidade da tradução. Foi aluno de Whitehead.

Saul Kripke

Filósofo americano, é considerado um dos mais importantes vivos. Sua obra mais importante é Naming and Necessity, onde ele faz críticas aos descritivismo lógico — onde um nome seria apenas a “abreviação” de uma descrição —, ao realismo modal e desenvolve suas teorias sobre a necessidade da identidade e de referência, além de críticas ao materialismo mente-corpo. Kripke também é bastante reconhecido pelos seus trabalhos na lógica modal, em que desenvolve uma semântica de mundos possíveis para a mesma, além de provar que o sistema S5 é correto e completo. O sistema K da lógica modal tem esse nome em sua homenagem. Ele também é reconhecido pela sua interpretação da obra de Wittgenstein.

Newton da Costa

Filósofo brasileiro que é reconhecido mundo afora. Possui diversas contribuições para a matemática, filosofia da ciência, epistemologia e, claro, lógica. Sua tese mais famosa é a idealização de uma lógica paraconsistente, isto é, uma lógica que burle o princípio da explosão da lógica clássica. Sua lógica é utilizada hoje na computação e na matemática.

David Lewis

Importante contribuinte para a lógica modal, propôs os sistemas S1, S2, S3 e S4. No campo da filosofia, Lewis defendeu o realismo modal — doutrina filosófica que defende que todos os mundos possíveis são tão reais quanto o nosso.

Como se pode ver, a lógica evoluiu muito e continua evoluindo com o surgimento de lógicas não-clássicas e busca por maior rigor da lógica clássica. Não só isso, mas ela é aplicada aos mais diversos campos da filosofia e da matemática, enriquecendo essas áreas e cumprindo o seu papel como uma linguagem formal: evitando as ambiguidades, esclarecendo os pensamentos, quebrando as barreiras linguísticas.

Conclusão

Este foi um breve panorama da história da lógica; ainda há muito no que se aprofundar em cada campo desta vasta ciência. Vimos o quanto a lógica evoluiu desde Aristóteles e como cada grupo a tratou de uma forma distinta, aplicando aos seus propósitos. Dos peripatéticos, aos estóicos, aos escolásticos até os analíticos… Todos foram muito importantes para moldar a lógica como conhecemos hoje.

Futuramente iremos nos aprofundar mais nos aspectos mais “técnicos” da lógica, um pouco sobre a sua linguagem e como ela é usada na validação dos argumentos como também na demonstração de teoremas.

Obrigado a todos que leram até aqui.

Notas e referências

[1] Vida e Doutrina dos Filósofos Ilustres, Diógenes Laércio;

[2] Medieval Semantics: Selected Studies on Medieval Logic and Grammar, 1984;

[3] Begriffsschrift, 1879;

[4] Cf.: Dois Dogmas do Empirismo, W. V. O. Quine;

[5] 1931, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173-98;

[6] Cf.: Sobre o que há, W. V. O. Quine.

Notas

Notas
1 p→q)→(¬q→¬p

2 respostas em “Lógica: uma introdução – parte 1”

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