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Lógica: uma introdução — parte 2

Apresentação aos conceitos sintáticos e semânticos da lógica proposicional

Introdução

Na parte 1 foi apresentado um breve panorama da história da lógica e os grandes nomes que a compunham. Agora, chegou a hora de falar da lógica em si: da sua linguagem, do seu uso e da sua interpretação.

Para todos aqueles que estão interessados em compreender a linguagem lógica, este artigo trará noções básicas e um pouco do conteúdo mais intermediário. Falaremos de formalização, sintaxe, semântica, operadores, etc., tudo dentro da lógica moderna como encontrada nos manuais mais conhecidos atualmente.¹

1. Proposição

Comecemos pela noção de proposição (ou sentença ou, ainda, enunciado, como alguns preferem — e outros distinguem):

Uma proposição é qualquer frase declarativa.

Sendo assim:

“Amanhã fará sol”, “a Terra gira em torno do sol”, “a porta está aberta”, “Maria tropeçou e se machucou” e quaisquer outras frases com estruturas semelhantes são proposições.

Disso se segue que:

“Amanhã fará sol?”, “abra a porta!”, “Maria se machucou?” e quaisquer frases similares não são proposições, pois não são declarativas.

É característica particular das proposições possuírem um valor-verdade. No âmbito da lógica clássica, há dois valores de verdade: verdadeiro (V) ou falso (F). “1+1=2” é verdadeira; em contrapartida, “um quadrado tem três lados” é falsa.

Na lógica proposicional, usamos letras sentenciais para representar proposições, como: p, q, r, s, a, b, c, etc.

As proposições podem ser simples ou compostas. Serão compostas se e somente se apresentarem algum conectivo em sua construção (veremos mais a frente cada um dos conectivos lógicos); caso contrário, serão denominadas simples. Por exemplo:

  1. “Hoje é um dia bonito”;
  2. “Todos os homens são mortais”;
  3. “As flores são vermelhas”;

todas são proposições simples. As proposições:

  1. “Vou para casa ou ao mercado”;
  2. “Se tudo correr bem, vamos à praia hoje”;
  3. “João estava triste e choramingando”;
  4. “Vou à festa se e somente se fizer sol”;
  5. “Não é o caso que 2+2=5”;

são, por sua vez, compostas, pois apresentam um conectivo.

Isso se estenderá para a noção de fórmula. Uma fórmula atômica seria o correspondente a uma uma proposição simples; por outro lado, uma fórmula molecular corresponde a uma proposição composta. As fórmulas atômicas que compõem uma fórmula molecular são também chamadas de subfórmulas.

2. Conectivos lógicos

Os conectivos são termos ou palavras que “ligam” duas proposições simples ou duas fórmulas atômicas. Na lógica geralmente se utilizam cinco conectivos — ou operadores:

  1. Disjunção;
  2. Implicação;
  3. Conjunção;
  4. Bi-implicação (bicondicional);
  5. Negação.

Falaremos a seguir sobre cada um deles e como funcionam.

2.1. Negação

Começando pelo tipo mais simples de operador, a negação é representada por “¬”, “~” ou “–” (em geral, usado em lógica intuicionista). A função da negação é essencialmente inverter o valor-verdade, isto é, digamos que p seja verdadeiro; sendo assim, a negação de p, não-p, deve de ser falsa e vice-versa.

Ao contrário dos demais operadores que veremos, a negação tem seu diferencial por ser unária. Isto significa que ela não requer duas fórmulas simples para se aplicar, uma única fórmula p já é o suficiente.

Vale ressaltar que, logicamente, a negação de uma proposição é sempre expressa como “não é o caso que…”, ou “…é falso”. Isso é feito para que se evite qualquer ambiguidade ou controvérsia. A negação de “x é quente”, suponhamos, não é “x é frio”, elas são consideradas como proposições distintas.

O que ocorre é que poderia-se dizer que há algum meio termo entre ambos, como dizer que “x é morno”, ou algo assim. O mesmo se dá para “x é rico” e “x é pobre”: não ser rico não significa ser pobre, existe uma “classe média”, muitos diriam. Portanto, por conta dessa gradação que algumas coisas têm, apenas se diz que “p é falso” ou “p não é o caso”.

Existem dois tipos de negação que é preciso entender para se fazer bom uso do operador: a negação de re e a negação de dicto. A negação de re seria “negação da coisa”, enquanto de dicto é a “negação do que é dito”. Basicamente, seria a diferença entre negar uma parte e negar o todo. Por exemplo:

¬p⊃q (não-p implica em q) é diferente de:

¬(p⊃q) (não é o caso que p implica em q).

A amplitude da negação será determinada pelo uso dos parênteses, que aqui são nossos sinais de pontuação.² A negação dentro do parênteses nega apenas umas das fórmulas da operação, já a negação fora nega toda a fórmula.

Um outro uso comum da negação é a de negações de negações. Por exemplo:

  • ¬¬p∧¬¬¬q

Pode-se ter quantas negações forem necessárias para expressar a fórmula. Não é o caso que não é o caso que p, por exemplo. É uma característica interessante das negações que ela se anulam. Ou seja, se eu tenho que ¬¬p, posso inferir disso que simplesmente p. Ora, se tenho que é falso que p é falso, então, em outras palavras, estou dizendo que p é verdadeiro. Falaremos disso melhor quando tratarmos de regras de inferência.

Abaixo, as condições de verdade da negação em tabela-verdade:

2.2. Disjunção

A disjunção é o equivalente ao “ou” da linguagem natural. Na lógica formal a representamos como ∨ e este símbolo nos diz que pelo menos um dos lados da disjunção é verdadeiro. Se isso se satisfaz, então a disjunção é dita como verdadeira. Por exemplo:

“A Terra é redonda ou gira em torno do sol.”

Podemos formalizar isso como r∨s. E sabemos que tanto r (a Terra é redonda) quanto s (gira em torno do sol) são verdadeiras. Portanto, a disjunção é também verdadeira. Outro exemplo seria:

“O céu é azul ou 2+2=5.”

Aqui já nota-se que os lados da disjunção não precisam ter qualquer correlação entre si; diferentemente da lógica megárico-estóica que exigia que a disjunção possuísse alguma espécie de conflito entre os disjuntos, a lógica moderna não se importa com essa questão. A única coisa importante é o valor-verdade das afirmações.

Sendo assim, na análise da nossa proposição, podemos formalizá-la como c∨d. Sabendo que c (o céu é azul) é verdadeira, já sabemos que a disjunção é verdadeira, pois a sua condição de verdade requer que pelo menos um dos lados seja verdadeiro. Disso se conclui que, embora d (que 2+2=5) seja falso, a disjunção ainda assim retorna verdadeira.

Já no caso de que:

“Newton era italiano ou a gravidade é inexistente”,

temos que a disjunção retorna como falsa, pois nenhum de seus componentes é verdadeiro. Abaixo se segue a tabela-verdade com as condições de verdade da disjunção.

2.2.1. Disjunção exclusiva

A disjunção exclusiva é um tipo especial de disjunção. Ela é o correspondente ao nosso “ou… ou” da linguagem natural, representada pelo símbolo “⊕” ou “⊻”. A disjunção anteriormente apresentada é a chamada inclusiva; a exclusiva, por sua vez, nos diz o seguinte: pelo menos um e apenas um dos lados da disjunção é verdadeiro. Em outras palavras, significa que os dois lados não podem ser verdadeiros simultaneamente, um exclui o outro.

  1. “Ou vou ao mercado, ou vou ao shopping”;
  2. “Ou como carne, ou tomo sorvete”;
  3. “Ou unicórnios existem, ou não existem”.

Esses são alguns exemplos de disjunção exclusiva, todas sendo formalizadas na forma p⊕q.

Ela não é muito usada na lógica recorrente, mas é mais conhecida depois dos cinco principais, por isso, vale a menção. Abaixo, a tabela-verdade da disjunção exclusiva:

2.3. Implicação

A implicação corresponde a forma “se… então” da linguagem corrente. Pode ser representada como “→” ou “⊃”. Aqui, faremos uso recorrente da segunda forma de expressão, como por exemplo: p⊃q. O primeiro lado da implicação chama-se antecedente enquanto o outro é chamado consequente.A implicação possui uma semântica complicada, como se verá mais claramente, pois um condicional retorna verdadeiro se e somente se não é o caso que o antecedente é verdadeiro e consequente é falso. Tomemos alguns exemplos:

“Se chover, então a rua fica molhada.”

Se temos que os dois são verdadeiros, então, intuitivamente, sabemos que a implicação por si só é verdadeira também. No entanto, assim como na disjunção exposta acima, os lados da implicação não precisam ter qualquer relação entre si. Podemos ter:

“Se o oceano é salgado, então Mozart era músico”.

São coisas que não se correlacionam de forma nenhuma, mas, sendo ambas verdadeiras (como sabemos ser), a implicação é verdadeira. A implicação, embora possa parecer, não constitui uma relação causal entre as suas partes.

“Se o sol é uma estrela, então a lua também é uma estrela.”

Esse é um caso em que a Implicação retorna falsa. Tomando que s⊃e, temos que s é verdadeiro, mas e é falsa. Sendo assim, o condicional como um todo é falso. Até aqui, tudo bem. É agora que as coisas podem começar a ficar estranhas. Tomemos o seguinte exemplo:

“Se a Terra é um planeta gasoso, então Júpiter é o maior planeta do sistema solar”.

Nesse caso, temos que o antecedente é falso. E só por isso já podemos dizer que todo o condicional é verdadeiro. Nota-se aqui uma das propriedades mais peculiares da implicação lógica: se o antecedente é falso, então todo o condicional é verdadeiro, não importando o valor do consequente (isso é verdadeiro até mesmo para essa proposição condicional).

Dito isso, podemos ter o caso em que ambos os lados são falsos, como em:

“Se a lua é feita de queijo, então a Alemanha não é um país”.

E mesmo nos casos em que ambos os lados da implicação são falsos, ela retornará verdadeira. Segue abaixo as condições de verdade da implicação:

2.4. Conjunção

A conjunção é bastante simples: corresponde ao nosso “e”, usado corriqueiramente. Na notação lógica é representado por “∧”, ou por alguns “.” ou ainda “&”. Aqui faremos uso da primeira opção.

A conjunção será verdadeira se e somente se ambos os seus constituintes forem verdadeiros. Ou seja, se pelo menos um deles for falso, a conjunção também será falsa. Exemplos:

  • “3+7=10 e 4+5=9”;
  • “O céu é preto à noite e as estrelas são verdes”;“
  • “A Terra é gasosa e voamos dentro dela”.

Em (1) temos uma conjunção verdadeira, pois ambos são verdadeiros; em (2) temos que a conjunção é falsa, pois, apesar de ser verdade que o céu é preto à noite, não é o caso que as estrelas são verdes; e (3) também é falsa, uma vez que ambos os lados são igualmente falsos.

Abaixo se encontra a tabela com as condições de verdade da conjunção:

2.5. Bi-implicação

Nosso último operador é a bi-implicação, o equivalente ao “se e somente se” da linguagem natural, ou “p é condição suficiente e necessária para q”. Ela é expressa simbolicamente como “⇔”, um implicação para ambos os lados.

A bi-implicação nos diz que as fórmulas atômicas que a compõem possuem o mesmo valor-verdade. Ou seja, em p⇔q, se p for verdadeiro, então q também será; e, se p for falso, então q também será e vice-versa. Disso se segue, como já se imagina, que a bi-implicação retornará falsa se o valor-verdade das proposições for diferente.

A seguir se tem a tabela-verdade da bi-implicação:

3. São necessários todos os cinco?

A lógica possui certas convenções. Com isso quero dizer que há certas coisas que não são necessárias para falarmos aquilo que queremos ou provar qualquer coisa. Contudo, utilizamos certas coisas porque elas facilitam o processo lógico. Isso ocorre com as regras de inferência, com determinados métodos de prova e, claro, com os nossos operadores.

Na sua Conceitografia, Gottlob Frege utiliza apenas os operadores de negação e implicação, sem precisar da conjunção, disjunção ou bi-implicação. Mas isso também pode ser feito com negação e disjunção, negação e conjunção, etc.

Utilizando da negação e disjunção, podemos definir todos os outros operadores. Comecemos pela implicação. Ora, sabemos pela tabela-verdade de p⊃q que ela retornará verdadeira se e somente se p for falso ou se q for verdadeiro. Portanto, de p⊃q, temos que ¬p∨q.

A conjunção também pode ser expressa com disjunção e negações. A conjunção nos diz que ambos, p e q, são verdadeiros. Se negamos isso, que ambos são verdadeiros, estamos dizendo que p ou q é falso, já que a conjunção retorna falsa apenas se um deles for falso. Então de ¬(p∧q), deduzimos ¬p∨¬q. Para enfim termos uma conjunção, basta negarmos esse nosso resultado, pois a negação de que p ou q são falso é dizer que ambos são verdadeiros, isto é, uma conjunção: ¬(¬p∨¬q).O mesmo se segue para a bi-implicação: p⇔q é o mesmo que ¬(¬p∨¬q)∨¬(p∨q), i.e., ambos são verdadeiros ou ambos são falsos.

Como foi demonstrado, é plenamente possível reduzir toda a nossa linguagem a dois operadores básicos. Não só isso, mas já foi provado ser possível usar apenas um único operador para expressar toda fórmula. Isso pode ser feito com o uso de operadores especiais.³ Contudo, para poupar tempo e espaço, os lógicos optaram por utilizar esses cinco operadores principais.

4. Sintaxe e semântica

Tudo isso que foi falado até aqui, faz parte da sintaxe e também um pouco da semântica da lógica proposicional. A sintaxe está nas nossas regras de formação e transformação, em que determinamos quando uma fórmula é bem formada (expressa corretamente) e a semântica é a nossa regra de interpretação, quando uma fórmula é verdadeira ou falsa.

Para a sintaxe, se temos que ϕ e ψ são fórmulas, então:

  • ¬ϕ é uma fórmula;
  • ϕ∨ψ é uma fórmula;
  • ϕ∧ψ é uma fórmula;
  • ϕ⊃ψ é uma fórmula;
  • ϕ⇔ψ é uma fórmula.

Sem deixar de lado a união bem formada desses mesmos operadores.

Já para a semântica, temos os dois valores de verdade e são os valores-verdade das fórmulas atômicas que irão determinar o valor-verdade da fórmula molecular que tivermos, como já vimos em vários exemplos anteriores. Para p⊃q ser verdadeiro, p tem que ser falso ou q precisa ser verdadeiro.

E a partir dessas noções se seguirão todas as demais da lógica clássica.

A seguir, falaremos sobre argumentos, prova e métodos de inferência.

Notas

[1] Cf.: Introdução à Lógica, Cezar A. Mortari; Introduction to Logic, Irving Copi;

[2] Alguns autores utilizam colchetes — [] — ou chaves — {} — como sinais de pontuação; outros utilizam uma notação própria que não necessita de tais artifícios, vide notação fregeana e notação polonesa;

[3] Cf.: Sheffer’s Stroke e Quine’s Dagger.

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