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Lógica: uma introdução – parte 3

Introdução aos tipos de argumento, formalização, prova direta e indireta, consequência lógica, sintática e semântica.

Introdução

Na parte 2 de nossa série sobre lógica, falamos sobre os conceitos de proposição, fórmulas atômicas e moleculares e falamos sobre cada um dos principais operadores da lógica proposicional, juntamente com suas condições de verdade. Agora, como dito no fim do último artigo, falaremos sobre argumentos. Mas, para entendermos isso de maneira plena, precisamos estabelecer mais alguns conceitos novos.

1. O que é um argumento?

Um argumento nada mais é do que um conjunto de sentenças¹, em que há uma ou mais premissas e uma conclusão. As premissas são as sentenças que buscam justificar ou sustentar a conclusão. Se elas fazem isso perfeitamente, dizemos, então, que a conclusão se segue das premissas ou que é consequência delas (falaremos adiante mais sobre o conceito de consequência). Por exemplo:

(A.1)

  1. Todos os homens são mortais.
  2. Sócrates é homem.
  3. Logo, Sócrates é mortal.

As proposições (1) e (2) são nossas premissas, enquanto (3) é nossa conclusão. Intuitivamente, vemos que esse é um argumento válido e que a conclusão se segue das suas premissas.

1.2. Os tipos de argumento

1.2.1. Silogismo

Além disso, existem vários tipos de argumentos, eles não se resumem a apenas um único. O primeiro modelo interessante de argumento que podemos citar é o silogismo. O termo foi cunhado por Aristóteles² e se refere a um argumento constituído por três sentenças, sendo uma a premissa maior, outra a premissa menor e uma a conclusão. (A.1) por si mesmo já é um exemplo de silogismo.

Este tipo de argumento, por sua vez, possui subdivisões. Dentro da teoria silogística teremos os silogismo categóricos, que foram o principal objeto de estudo de Aristóteles. Um silogismo desse tipo é formado por proposições categóricas, isto é, que afirmam ou negam de todos ou alguns. São exemplos de sentenças desse tipo:

  • Todos os homens são mortais;
  • Algumas mulheres são bonitas;
  • Todo leão é um animal;
  • Alguns planetas giram ao redor do sol; etc.

E um argumento desse tipo seria:

(A.2)

  1. Todo homem é racional.
  2. Alguém é homem.
  3. Logo, alguém é racional.

Saindo um pouco de Aristóteles, avançando no tempo e passando pelo período helênico e medieval, temos o surgimento dos silogismos disjuntivos, dos silogismos hipotéticos e dos dilemas.

O silogismo disjuntivo é aquele que possui uma disjunção em suas premissas. Como já vimos na parte anterior, uma disjunção corresponde ao nosso “ou” da linguagem natural. Por exemplo:

(A.3)

  1. Platão está vivo ou está morto.
  2. Platão não está vivo.
  3. Logo, Platão está morto.

Este foi um modelo desenvolvido principalmente pelos estóicos. Se temos que um dos lados da disjunção é falso, podemos disso concluir que o outro lado é verdadeiro.

Indo para os silogismos hipotéticos, eles, como o nome sugere, possuem premissas hipotéticas em sua contrução. Vejamos:

(A.4)

  1. Se o universo é efeito, então o universo tem causa.
  2. Se o universo tem causa, então não é o caso que é eterno.
  3. Logo, se o universo é efeito, então não é o caso que é eterno.

A estrutura de (A.4) funciona de maneira bastante simples:

  1. Se A, então B;
  2. Se B, então C;
  3. Logo, se A, então C.

Este tipo de silogismo demonstra a relação de trasitividade que a implicação (“se… então”) possui.

O último modelo dos principais argumentos antigos é o dilema. E há dois tipos de dilema. Primeiramente, o dilema construtivo:

(A.5)

  1. Se A, então B.
  2. Se C, então D.
  3. A ou C.
  4. Logo, B ou D.

Basicamente nos diz que: se um ou outro antecedente é verdadeiro (A ou C), então um ou outro consequente é verdadeiro também (B ou D).

Além desse, há o dilema destrutivo, que, como se vê, nada mais é do que a versão negativa de (A.5), funcionando de forma similar:

(A.6)

  1. Se A, então B.
  2. Se C, então D.
  3. Não-B ou não-D.
  4. Logo, não-A ou não-C.

A única diferença é que, ao invés de se afirmar os antecedentes, como em (A.5), aqui em (A.6) nega-se os consequentes e disso se conclui a negação dos antecedentes.

Essa são as formas antigas de argumentos que foram desenvolvidas desde Aristóteles até os escolásticos. A lógica moderna percebeu que reduzir toda a lógica apenas aos silogismos possuía muitas limitações. Aristóteles tratou apenas de silogismos categóricos e, mesmo com as atualizações posteriores, ainda se tinha um escopo muito pequeno.

Todos os argumentos vistos até aqui — com exceção dos dilemas — tinham apenas duas premissas. Já na lógica moderna, como veremos, podemos ter quantas premissas quisermos (desde que, claro, o conjunto seja finito).

2.1.2. Dedutivos x indutivos

Uma outra divisão para os argumentos são entre os indutivos e dedutivos. Esses conceitos sofreram certa alteração com o passar do tempo, por isso é bom ressaltar bem o que cada um significa nos dia de hoje.

Antigamente, um argumento era considerado dedutivo se partisse de premissas universais (todos) para uma conclusão particular (algum, alguns). E um argumento seria indutivo se partisse de premissas particulares para uma conclusão universal.

Um exemplo de argumento dedutivo nesse sentido seria o nosso (A.1) em que particular de um universal (“todos os homens são mortais”) para um particular (“Sócrates é mortal”). Já um argumento indutivo seria, por exemplo:

(A.7)

  1. Ouro conduz eletricidade.
  2. Cobre conduz eletricidade.
  3. Platina conduz eletricidade.
  4. Prata conduz eletricidade.
  5. Etc…
  6. Logo, todo metal conduz eletricidade.

Partimos de particulares (ouro, prata, cobre, etc.) e concluímos um universal (“todo metal”).

Esses conceitos, contudo, não foram mantidos para os dias de hoje, já que não se considera mais como definições satisfatórias. Atualmente se mantém que:

  • Um argumento é dedutivo se e somente a conclusão se segue necessariamente das premissas; e
  • Um argumento é indutivo se e somente a conclusão possivelmente se segue das premissas.

A lógica moderna se interessou particularmente por uma lógica que trate dos argumentos dedutivos. Foram feitas tentativas de uma lógica indutiva, mas nada muito bem desenvolvido ainda — sem falar que é impossível o fazer com conceitos puramente lógicos, apelando-se para noções “extra-lógicas”.

Portanto, trabalharemos exclusivamente com argumentos dedutivos.

3. Consequência lógica

A consequência lógica é o que determina quando uma determinada conclusão α se segue de um conjunto ∆ de premissas, isto é, a validez de nosso argumento. E esta consequência se apresenta de duas formas: sintática e semântica. Ora:

  • Uma fórmula α é consequência sintática de ∆ se e somente se há uma prova de α a partir de ∆, o que formalmente representamos por ∆⊢α; e
  • Uma fórmula α é consequência semântica de ∆ se e somente se toda interpretação que satisfaz todas as fórmulas de ∆ satisfaz também α, o que representamos por ∆⊨α.

Certo, é preciso esclarecer alguns termos:

Uma prova de α a partir de um conjunto ∆ qualquer é uma sequência finita de fórmulas p1, p2, p3,…, pn, em que pn=α e, para toda fórmula pi, pi∈∆ ou pi é obtida através de regras de inferência.

Em palavras mais simples, isto significa que α é derivada de um conjunto finito de fórmulas que são nossas premissas e outras que são obtidas por inferência. (Ficará mais claro quando dermos exemplos de dedução).

E o conceito de satisfação pode ser tomado como um sinônimo de “tornar verdadeiro”. Sempre que temos uma interpretação que retorna uma fórmula em verdadeiro (V), dizemos que a fórmula é satisfeita. Por exemplo: a interpretação em que (p)=F e (q)=V, satisfaz a fórmula p⊃q. Portanto, o que a consequência semântica nos diz é que: sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão também será. Se isto não ocorre, isto é, se há uma interpretação que torne as premissas verdadeiras, mas a conclusão falsa, então a conclusão não é consequência semântica das premissas.

Se há consequência sintática, então dizemos que o argumento é sintaticamente válido. E se há consequencia semântica, então o argumento será semanticamente válido.

4. Regras de inferência

Podemos agora, finalmente, falar sobre as regras de inferência. Mas, primeiramente, o que é uma inferência?

  • Uma inferência é a “passagem” de uma fórmula para outra. Ou seja, com base em uma fórmula podemos afirmar outra, e, se a primeira forma verdadeira, então a segunda também será.

Esclarecido isto, iremos listar as principais regras de inferência. Elas são divididas em dois tipos: as regras primitivas — que são aceitas sem demonstração, já que para prová-las teríamos que usar outras regras de inferência — e as regras derivadas — que podem ser demonstradas a partir das primitivas, não são necessárias, mas facilitam o processo dedutivo.

4.1. Regras primitivas

Cada operador terá duas regras de inferência primitivas: uma que sirva para adicionar e outra que sirva para eliminar o operador. Sabendo que as letras gregas denotam uma fórmula qualquer e que o sinal “.·.” significa conclusão, vejamos quais são as regras de cada conectivo:

4.1.1. Implicação

Modus ponens (M.P.)

  1. ϕ⊃ψ
  2. ϕ
  3. .·. ψ

Isto é, se o antecedente é verdadeiro, então o consequente também é.

Condicionalização (cond.)

  1. ψ
  2. .·. ϕ⊃ψ

Isto é, uma fórmula verdadeira é implicada por qualquer outra.

4.1.2. Conjunção

Adição (add.)

  1. ϕ
  2. ψ
  3. .·. ϕ∧ψ

Se duas fórmulas são verdadeiras, então a conjunção de ambas também o é.

Separação (sep.)

  1. ϕ∧ψ
  2. .·. ϕ
  3. .·. ψ

Se a conjunção é verdadeira, podemos concluir que cada um dos seus lados é também verdadeiro.

4.1.3. Disjunção

Silogismo disjuntivo (S.D.)

  1. ϕ∨ψ
  2. ¬ψ
  3. .·. ϕ

Se a disjunção é verdadeira e um dos lados é falso, então o lado restante é verdadeiro.

Expansão (exp.)

  1. ψ
  2. .·. ϕ∨ψ

Uma fórmula verdadeira pode ser disjunta com qualquer outra.

4.1.4. Negação

Dupla negação (D.N.)

  1. ¬¬ϕ
  2. .·. ϕ

As negações se anulam. O caminho inverso também é verdadeiro: ϕ⊢¬¬ϕ.

Reductio ad absurdum (R.A.A.)

  1. | .
  2. | .
  3. | .
  4. |⊥
  5. .·. ¬ϕ

Se a partir da hipótese (representada pelas barras laterais) de que ϕ é verdadeiro pode-se deduzir uma contradição (⊥), então ϕ não é o caso.

4.1.5. Bi-implicação

Bi-implicação para condicionais (B.C.)

  1. ϕ⇔ψ
  2. .·. ϕ⊃ψ
  3. .·. ψ⊃ϕ

De uma bi-implicação se conclui que uma fórmula implica na outra e vice-versa.

Condicionais para bi-implicação (C.B.)

  1. ψ⊃ϕ
  2. ϕ⊃ψ
  3. .·. ϕ⇔ψ

O caminho inverso da regra anterior.

4.2. Regras derivadas

Essas regras que vimos são aquelas comumente tomadas como primitivas. Contudo, semelhante ao que se faz com os operadores, alguns lógicos optam por tomar apenas uma única regra como primitiva num sistema (geralmente modus ponens) e a partir dela derivam outras regras.

Falaremos sobre algumas delas:

Modus tollens (M.T.)

  1. ϕ⊃ψ
  2. ¬ψ
  3. .·. ¬ϕ

Se em uma implicação o consequente é falso, então o antecedente também o é.

Silogismo hipotético (S.H.)

  1. ϕ⊃ψ
  2. ψ⊃β
  3. .·. ϕ⊃β

Como já vimos anteriormente, a silogismo hipotético é a aplicação da transitividade da implicação.

Regra de prova por condicional (R.P.C.)

  1. | .
  2. | .
  3. | .
  4. | ψ
  5. .·. ϕ⊃ψ

Bem parecida com a regra de (R.A.A.), se a partir da hipótese de que ϕ deduzimos ψ, podemos concluir que ϕ⊃ψ.

Negação do condicional (N.C.)

  1. ¬(ϕ⊃ψ)
  2. .·. ϕ∧¬ψ

Da negação de uma implicação concluímos que o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.

Contraposição (contrap.)

  1. ϕ⊃ψ
  2. .·. ¬ψ⊃¬ϕ

De uma implicação se conclui que a negação do consequente implica na negação do antecedente.

De Morgan (1) (D.M.)

  1. ¬(ϕ∧ψ)
  2. .·. ¬ϕ∨¬ψ

Se um conjunção de ϕ e ψ é falsa, então ϕ ou ψ são falsos.

De Morgan (2) (D.M.)

  1. ¬(ϕ∨ψ)
  2. ¬ϕ∧¬ψ

Se uma disjunção é falsa, então ambos os lados da fórmula são falsos.

Em ambos os casos o operador é invertido e a negação é “distribuída”, por assim dizer, entre as fórmulas.

Distribuição (dist.)

  1. (ϕ∨ψ)∧γ
  2. .·. (ϕ∧γ)∨(ψ∧γ)

Isto é, distribuímos a conjunção no disjuntivo.

Comutatividade (comut.)

  1. ϕ∨ψ
  2. .·. ψ∨ϕ
  1. ϕ∧ψ
  2. .·. ψ∧ϕ
  1. ϕ⇔ψ
  2. .·. ψ⇔ϕ

Em suma, a ordem das fórmulas nas operações de disjunção, conjunção e bi-implicação não importa. O mesmo não vale para a implicação.

Associatividade (ass.)

  1. (ϕ∧ψ)∧γ
  2. .·. ϕ∧(ψ∧γ)
  1. (ϕ∨ψ)∨γ
  2. .·. ϕ∨(ψ∨γ)
  1. (ϕ⇔ψ)⇔γ
  2. .·. ϕ⇔(ψ⇔γ)

Em suma, os sinais de pontuação são irrelevantes nas operações que possuem apenas conjunções, disjunções ou bi-implicações.

Dilema construtivo (D.C.)

  1. ϕ⊃ψ
  2. γ⊃δ
  3. ϕ∨γ
  4. .·. ψ∨δ

Se a disjunção dos antecedentes é verdadeira, então a disjunção dos consequentes também é. Trata-se da versão disjuntiva do modus ponens.

Dilema destrutivo (D.D.)

  1. ϕ⊃ψ
  2. γ⊃δ
  3. ¬ψ∨¬δ
  4. .·. ¬ϕ∨¬γ

Se pelo menos um dos consequentes é falso, então pelo menos um dos antecedentes também é. Versão disjuntiva do modus tollens.

5. Dedução natural

Essas são todas as regras de inferência que normalmente se dispõem os lógicos. Claro, poderíamos citar várias outras, mas estas já são suficientes para lidarmos com a lógica proposicional.

Podemos agora, então, falar sobre dedução natural. Esse é o método que consiste a partir de certas premissas e concluir demais fórmulas através de — várias — regras de inferência e que não possui, geralmente, axiomas. Diferente do método axiomático que tem poucas regras e vários axiomas.

Uma forma de exemplificar é provar algumas das regras apresentadas anteriormente. Provemos a regra de silogismo hipotético, por exemplo:

(A.8)

  1. p⊃q
  2. q⊃r ? p⊃r
  3. |p hipótese
  4. |q (1,3, M.P.)
  5. |r (2,4, M.P.)
  6. .·. p⊃r (3-5, RPC)

Explicaremos passo a passo: colocamos nossas premissas (1) e (2) e deixamos a conclusão que pretendemos chegar destacada com um (?) ao lado seguindo a notação de Cezar Mortari³. Em (3) abrimos p como hipótese. Não há restrições para a abertura de hipóteses aqui, podemos assumir o que for necessário para provarmos o que desejamos e o marcamos com uma linha vertical.

De (1) e (3), por modus ponens, deduzimos que q e de (2) e (4) deduzimos r, também por modus ponens (sempre destacando ao lado quais premissas foram usadas e qual regra de inferência). Por fim, de (3) até (5) usamos a regra de prova por condicional para concluir o que queríamos: p⊃r. Descartamos a hipótese e acaba-se a dedução.

Vamos provar agora a regra de dilema construtivo:

(A.9)

  1. p⊃q
  2. r⊃s
  3. p∨r ? q∨s
  4. |¬q hipótese
  5. |¬p 1,4, M.T.
  6. |r 5,3, S.D.
  7. |s 2,6, M.P.
  8. ¬q⊃s 4-7, R.P.C.
  9. ¬(¬q∧¬s) 8, equiv.
  10. ¬¬q∨¬¬s 9, D.M.
  11. .·. q∨s 10, D.N.

Vamos por partes: dispomos nossas premissas em (1), (2) e (3) e em seguida abrimos uma hipótese. Por modus tollens entre (1) e (4) inferimos ¬p e o usamos em (3) para deduzir r por silogismo disjuntivo. Com r podemos inferir s por modus ponens em (2) e (6).

Alcançando o resultado que queríamos, fechamos a hipótese e concluímos ¬q⊃s. Pela própria definição de implicação, nós sabemos que ela é verdadeira se não é o caso que o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso; que é o exatamente o que expressamos por: ¬(¬q∧¬s), obtido por equivalência entre as fórmulas.

Adiante, usamos a lei de De Morgan em (9) e a dupla negação em (10) para finalmente chegarmos à nossa conclusão: q∨s.

As leis de De Morgan também podem ser provadas por dedução natural, como demonstrado a seguir:

(A.10)

  1. ¬(p∨q)
  2. |¬(¬p∧¬q) ? CTR
  3. ||p hipótese
  4. ||p∨q 3, exp.
  5. ||¬(p∨q)∧(p∨q) 1,4, add.
  6. |¬p 3-5, R.A.A.
  7. ||q hipótese
  8. ||q∨p 7, exp.
  9. ||(q∨p)∧¬(p∨q) 1,8, add.
  10. |¬q 7-9, R.A.A.
  11. |¬p∧¬q 6,10, add.
  12. |(¬p∧¬q)∧¬(¬p∧¬q) 2,11, add.
  13. .·. ¬p∧¬q 2-12, R.A.A.

Certo, essa é uma cadeia um pouco grande, por isso vamos lentamente. Como talvez se tenha notado, usamos um método um pouco diferente nessa dedução: a prova por reductio ad absurdum, que já foi apresentada anteriormente.

O que queríamos era ¬p∧¬q, por isso o primeiro passo após colocarmos as premissas é negar aquilo que buscamos, abrindo uma hipótese como feito em (2) — a sigla CRT indica que estamos procurando a partir disso derivar uma contradição. Em (3) abrimos um hipótese dentro da hipótese (ou como diria Cezar Mortari: “[…] é a fantasia dentro da fantasia”⁴). Por que fizemos isso?

Simples: aquilo que queremos provar é uma conjunção, então o meio para isso é provar cada um dos lados da conjunção separadamente e usar a regra de adição. Contudo, além disso, queremos provar uma conjunção de negações; para obtê-las basta assumirmos como hipótese uma proposição e derivar uma contradição, como fizemos em (3-5) e (7-9). O resultado é a negação da hipótese inicial.

Da nossa hipótese em (3) usamos expansão em (4) e disso geramos uma contradição entre (4) e (1). Por reductio ad absurdum, deduzimos, então, ¬p. O mesmo ocorre logo em seguida, nas linhas (7) a (10), mas tendo q como hipótese — e mais uma vez usamos R.A.A. para chegar em ¬q.

Tendo ¬p e ¬q, usamos adição para ter ¬p∧¬q. E pronto: alcançamos a contradição que queríamos com nossa hipótese inicial em (2) — ¬(¬p∧¬q) —, concluindo, finalmente: ¬p∧¬q.

Observação: a dedução não estará terminada enquanto não se descartar todas as hipóteses que foram introduzidas. Para descartá-las, é preciso ou usar R.A.A. ou R.P.C.

Agora, provemos a segunda lei de De Morgan:

(A.11)

  1. ¬(p∧q)
  2. |¬(¬p∨¬q) ? CTR
  3. ||¬p hipótese
  4. ||¬p∨¬q 3, exp.
  5. ||(¬p∨¬q)∧¬(¬p∨¬q) 4,2, add.
  6. |¬¬p 3-5, R.A.A.
  7. |p 6, D.N.
  8. ||¬q hipótese
  9. ||¬q∨¬p 8, exp.
  10. ||(¬q∨¬p)∧¬(¬p∨¬q) 9,2, add.
  11. |¬¬q 8-10, R.A.A.
  12. |q 11, D.N.
  13. |p∧q 7,12, add.
  14. |(p∧q)∧¬(p∧q) 1,13, add.
  15. .·. ¬p∨¬q 2-14, R.A.A.

O método de prova é o mesmo da anterior: assumimos como hipótese a negação do resultado que queremos (2). Depois disso, deduzimos por R.A.A. e D.N. que p (3-5, 6) e q (8-10, 11). Usamos adição para unir os dois resultados (13) e com isso criamos uma contradição entre (13) e (1). Fecha-se a hipótese, e conclui-se a negação da assunção inicial: ¬p∨¬q.

E é claro que com esse método podemos provar qualquer argumento, mesmo aqueles que são primeiramente escritos na linguagem natural. Por exemplo:

“Se a Lua gira em torno da Terra, então a Terra gira em torno do Sol. Se a Terra gira em torno do Sol, então, se a Lua gira em torno da Terra, ou Copérnico ou Ptolomeu tinham razão. Copérnico tinha razão, se Ptolomeu não tinha razão. Nem Copérnico nem Ptolomeu tinham razão. Logo, a Lua não gira em torno da Terra.” Vamos pegar cada parte do argumento e formalizá-lo.

“Se a Lua gira em torno da Terra, então a Terra gira em torno do Sol.” (g⊃s)

“Se a Terra gira em torno do Sol, então, se a Lua gira em torno da Terra, ou Copérnico ou Ptolomeu tinham razão.” (s⊃(g⊃(c∨p)))

“Copérnico tinha razão, se Ptolomeu não tinha razão.” (¬p⊃c)

“Nem Copérnico nem Ptolomeu tinham razão.” (¬c∧¬p)

“Logo, a Lua não gira em torno da Terra.” ¬g

Agora, vamos montar o argumento da mesma forma que os anteriores:

(A.12)

  1. g⊃s
  2. s⊃(g⊃(c∨p))
  3. ¬c∧¬p ? ¬g
  4. |g hipótese
  5. |s 1,4, M.P.
  6. |g⊃(c∨p) 2,5, M.P.
  7. |¬(c∨p) 3, D.M.
  8. |¬g 6,7, M.T.
  9. |g∧¬g 4,8, add.
  10. .·. ¬g 4-9, R.A.A.

Creio que a este ponto já tenha ficado claro o que fizemos: assumimos g como hipótese e a partir disso deduzimos uma contradição e, pela regra de R.A.A. em (4-9) concluímos ¬g.

É claro que há também argumentos que não precisam da abertura de nenhuma hipótese. Por exemplo:

(A.13)

  1. ¬¬p
  2. q⊃(r∧s)
  3. d⇔¬¬q
  4. d∨¬p ? r∧s
  5. d 4,1, S.D.
  6. d⊃¬¬q 3, B.C.
  7. ¬¬q 6,7, M.P.
  8. q 8, D.N.
  9. .·. r∧s 2,8, M.P.

Provas assim são chamadas direitas, enquanto aqueles em que se abre uma hipótese são ditas indiretas.

Os argumentos de prova direta são ainda mais fáceis de lidar, pois são mais simples em sua estrutura. O método é saber onde a sua conclusão está “escondida” nas premissas — que no caso acima é em (2) — e então ver alguma estratégia para revelá-la.

Como r∧s está como consequente de uma implicação (2), para obtê-la basta encontrar, antes, o seu antecedente, que é q. Ele está numa bi-implicação com d em (3), que pode ser reduzida a uma simples implicação entre d e q (6). Mais uma vez, por ser um condicional, precisamos achar o antecedente e aplicar M.P. A fórmula d está em disjunção com ¬p em (4) e temos ¬¬p em (1); assim aplicamos S.D. em (4) e (1), adquirindo d.

Podemos agora usá-lo em (6) e deduzir ¬¬q por M.P. e q por D.N. Tendo q, usamos M.P. em (2) e concluímos, por fim, r∧s.

6. Estratégias para dedução

Existem certas coisas que, ao serem notadas, irão facilitar bastante na hora de resolver algum problema lógico e chegar na conclusão que se almeja. Como mostrado anteriormente, às vezes a conclusão já estará “escondida” nas premissas, basta que use alguma regra de eliminação para deduzi-la. Se estiver em uma implicação, M.P. ou M.T. serão úteis; se for uma disjunção, S.D. ajudará; em uma conjunção é simples: basta usar a separação; uma bi-implicação pode ser reduzida a uma implicação simples, então M.P. ou M.T. farão seu papel novamente; e uma dupla negação se anula facilmente com D.N.

Há também aqueles casos em que a conclusão não aparece tão explicitamente nas premissas; ela pode estar espalhada por elas e você terá que montá-la de alguma forma. Para isso, existem dicas do que se fazer com cada operador:

Implicação: assuma o seu antecedente como hipótese e tente deduzir a partir disso o seu consequente. Com a regra de R.P.C., pronto, você tem sua implicação.

Negação: assuma a fórmula como hipótese e tente deduzir uma contradição — como feito em (A.10) e (A.11). O resultado será a negação da hipótese inicial.

Disjunção: deduza um dos lados da disjunção e logo em seguida use a regra de expansão para adquirir o outro disjunto.

Conjunção: deduza cada um dos lados separadamente e então use adição para unificá-los.

Bi-implicação: terá que deduzir tanto que ϕ⊃ψ quanto que ψ⊃ϕ para então usar C.B. e obter a bi-implicação.

7. Nota sobre a consequência semântica

Até então falamos apenas da consequência sintática da conclusão através de suas premissas. Mas há também maneiras de validar um argumento pela semântica das premissas. Isso pode ser feito por tabela-verdade ou tablôs semânticos. Como não iremos nos estender muito aqui, será feito uso apenas das tabelas-verdade para exemplificação.

Por exemplo, o argumento:

  1. p∨q
  2. ¬q
  3. .·. p

Já sabemos que é sintaticamente válido, basta ver agora se também o é semanticamente.

Feita a nossa tabela, colocamos as variáveis utilizadas (marcadas em verde), nossas premissas e conclusão. Precisamos procurar algo se há algum caso em que as premissas são verdadeiras, mas a conclusão é falsa.

Como se vê, isso não acontece. Agora, procuremos em que posição tanto as premissas quanto a conclusão são verdadeiras. E aqui está:

Na 3ª linha, destaca em verde, ocorre o caso em que as premissas são verdadeira e a conclusão também e em mais nenhum. Satisfeitas as premissas e satisfeita a conclusão em todas as interpretações possíveis, o argumento é semanticamente válido. E o mesmo pode ser feito com qualquer outro argumento.

Eis o exemplo de um argumento inválido:

Embora na 3ª linha da tabela tanto as premissas quantos a conclusão sejam verdadeiras, a nossa definição de consequência diz que isso deve ocorrer em todas as interpretações. Ou seja, se há pelo menos uma interpretação em que isso não ocorre, o argumento é inválido. E é justamente o que acontece na 4ª linha: as premissas são verdadeiras; a conclusão, porém, é falsa.

A propósito, este é o argumento acima é conhecido como falácia da negação do antecedente. É bom lembrar, existem vários outros desse tipo.

9. Corretude e completude

Um resultado bastante interessante disso tudo é que:

  • se ∆⊢α, então ∆⊨α; e
  • se ∆⊨α, então ∆⊢α.

Isto é, se α é consequência sintática de ∆, então ele também é consequência semântica de ∆ e o contrário também é verdadeiro.

Esses são respectivamente os teoremas da corretude e da completude da lógica proposicional. Só provamos aquilo que é verdadeiro (corretude) e tudo que é verdadeiro é provável (completude).

Em outras palavras, todo argumento sintaticamente válido é também semanticamente válido e vice-versa.

Conclusão

Agradecemos a todos que leram até aqui. Deixem nos comentários do post se ficaram com alguma dúvida ou se tem alguma correção ou adendo a fazer.

Não se esqueçam de sempre buscar exercícios e explicações mais profundas nos grandes manuais de lógica. A dedução natural é algo que exige certa habilidade e também prática. Quanto mais treinar, mais fácil se tornará.

Na próxima parte, iniciaremos o conteúdo de lógica de primeira ordem. Falaremos sobre a nova sintaxe, os novos símbolos, a nova semântica, etc.

E isso é tudo.

Notas e referências

[1] Digo “sentença” pois um argumento não precisa necessariamente ter noções semânticas de verdade ou interpretação; sendo assim, não é sempre composto por proposições.

[2] Cf.: Analíticos Anteriores e Analíticos Posteriores.

[3] Cf.: Introdução à Lógica, Cezar A. Mortari.

[4] Ibid.

2 respostas em “Lógica: uma introdução – parte 3”

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